TUGAS MAKALAH
NAMA:
MUHAMMAD RIZKY
JUDUL:
BARISAN DAN DERET
MATA KULIAH:
DASAR-DASAR MATEMATIKA
JURUSAN:
ILMU PEMERINTAHAN
BARISAN DAN
DERET
Pernahkah kamu jalan-jalan melewati perumahan? Atau kamu s endiri tinggal
di perumahan? Coba perhatikan penomoran rumahnya. Pemberian nomor pada rumah
sering kita jumpai adanya nomor ganjil dan nomor genap. Tahukah kamu bilangan
ganjil dan bilangan genap? Tuliskanlah. Pada bilangan ganjil dan bilangan genap
terdapat pola bilangan. Coba kamu cari sesuatu yang membentuk pola bilangan.
Tuliskan dalam buku latihanmu.
Dalam bab ini kita akan mempelajari tentang pola bilangan.
A.
Pola Bilangan, Barisan dan Deret
a. Pola bilangan
Perhatikan deretan bilangan-bilangan
berikut:
a. 1 2 3 …
b. 4 9 16 …
c. 31 40 21 30 16 …
Deretan
bilangan di atas mempunyai pola tertentu. Dapatkah anda menentukan bilangan
yang belum diketahui sesuai dengan aturan yang
dipunyai?
Pada a, bilangan ke
4 adalah 4, sebab deretan bilangan nomor 1, mempunyai
aturan: bilangan ke 2 = 1 + 1 = 2,
bilangan ke 3 = bilangan ke 2 + 1 = 2 + 1 = 3.
Jadi bilangan ke 4 = bilangan ke 3 + 1 = 3 + 1 = 4.
Pada b, bilangan ke
4 adalah 25, sebab deretan bilangan nomor 2,
mempunyai aturan: bilangan ke 1 = (1 + 1)2 = 2 2 = 4,
bilangan ke 2 = (2 + 1)2 = 3 2 = 9,
bilangan ke 3 = (3 + 1)2 = 4 2 = 16.
Jadi bilangan ke 4 = (4 + 1)2 = 5 2 = 25.
Pada c, bilangan ke
6 adalah 25, sebab deretan bilangan nomor 3,
mempunyai aturan: bilangan ke 3 = bilangan pertama – 10 = 31 – 10 = 21,
bilangan ke 4 =
bilangan ke 2 – 10 = 40 – 10 = 30, bilangan ke 5 = bilangan ke 3 – 5 = 21 – 5 =
16,.
Jadi bilangan ke 6 = bilangan ke 4 – 5 = 30 – 5 = 25.
Aturan yang dimiliki oleh deretan bilangan di atas disebut pola bilangan
pada deretan itu. Pola sebuah deretan bilangan tidak tunggal. Sebagai
contoh, pada deretan bilangan nomor 2, bilangan ke n = (n + 1)2 dengan n
= 1, 2, 3, 4.
Tidak semua pola bilangan dapat dirumuskan secara singkat dengan kata-kata
yang langsung memperlihatkan pola yang dimaksud seperti kedua contoh tadi.
Misalnya, sungguh sulit kita merumuskan pola bilangan-bilangan 5, 7, 11, 17, 25
secara singkat dengan kata-kata. Oleh karenanya pola bilangan dapat dirumuskan
dengan cara-cara lain.
Misalnya:
Bilangan-bilangan 1, 3, 6, 10, … disebut bilangan-bilangan segitiga, karena
setiap kali dapat digambarkan dengan bulatan-bulatan yang tersusun dalam pola
segitiga.
Selain itu pola bilangan dapat juga dirumuskan dengan kalimat matematika.
Rumusan pola bilangan dengan kalimat matematika dapat ditentukan setelah sekian
banyak bilangan berpola sama ditata secara urut.
Rumusan pola bilangan dengan kalimat matematika adalah
rumusan yang menyatakan hubungan antara setiap bilangan dengan nomor urutnya.
b. Barisan
Perhatikan bilangan-bilangan yang disusun secara urut
berikut ini:
Bilangan ganjil: 1, 3, 5, 7, 9, …
Bilangan segitiga: 1, 3, 6, 10, 15, …
Bilangan Fibonacci: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, …
Bilangan ganjil, bilangan segitiga dan bilangan Fibonacci
yang disusun secara urut merupakan barisan bilangan. Jadi, barisan bilangan
adalah sekumpulan bilangan-bilangan dengan pola yang sama dan tertata secara
urut.
Disetiap nomor urut terdapat satu bilangan yang unik. Oleh karena itu,
barisan bilangan sering pula disebut sebagai fungsi dengan daerah asal (domain)
himpunan bilangan asli yang anggota-anggotanya menyatakan nomor urut suku.
Setiap bilangan dalam sustu barisan bilangan
disebut suku dan biasa dilambangkan dengan Un (n menyatakan nomor urut
suku). Jadi,
c.
Deret
Diketahui
barisan bilangan 1, 4, 7, 10, 13, … penjumlahan suku-suku barisan itu, yaitu 1
+ 4 + 7 + 10 + 13 + … disebut deret
bilangan.
Bila U1, U2, U3, U4, U5,
… disebut barisan bilangan,
maka U1 + U2
+ U3 + U4 + U5 + … disebut deret bilangan. Nilai deret bilangan hingga n buah
suku pertama biasa
dilambangkan dengan Sn.
- Notasi penulisan deret
Perhatikan jumlahan
bilangan-bilangan berikut.
1. 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7.
2. 2 + 4 + 6 + 8 + 10 + 12.
3.
4. 1 + 3 + 5 + 7 + 9.
Jumlahan bilangan-bilangan dari deretan bilangan yang mempunyai pola
dapat
dituliskan dengan notasi ” ”(dibaca: sigma).
Notasi Sigma
dilambangkan dengan
Dibaca : jumlah bilangan dari mulai suku ke-i = m sampai ke-i = n
Untuk menuliskan jumlah bilangan asli dari suku pertama sampai suku ke-10 dapat
ditulis :
= 1 + 2 + 3 + … + 10
Jumlah bilangan ganjil dari suku ke-5 sampai ke-10 ditulis :
= 9 + 11 + … + 19
Sifat-sifat Notasi Sigma
1. = na
2. = a1 + a2 + … + an
3. = a
4. = 1 + 2 + 3 +… + n
5. =
6. = +
- Deret Aritmatika
1. Barisan
Aritmatika
Perhatikan barisan-barisan berikut:
1, 4, 7, 10, … dan
100, 90, 80, 70, …
Barisan pertama
dan kedua merupakan barisan aritmatika. Pada setiap barisan bilangan di atas,
beda dua suku yang berurutan selalu tetap (konstan).
Suatu barisan
U1, U2, U3, … Un, disebut barisan aritmatika jika untuk setiap nilai n bilangan
asli berlaku:
U2 – U1 = U3 –
U2 = … = Un – Un-1 = b, dengan b suatu tetapan yang tidak bergantung pada n.
Jadi, barisan
aritmatika adalah suatu barisan bilangan yang suku beriktnya diperoleh dengan
menambah atau mengurangi dengan suatu bilangan yang tetap kepada suku
sebelumnya. Bilangan yang tetap itu disebut selisih atau beda. Apabila bedanya
positif, maka barisan itu naik. Apabila
bedanya negative, maka barisan itu turun.
2. Menentukan Rumus Suku ke-n Barisan
Aritmatika.
Jika suku
pertama U1, kita misalkan a, beda kita misalkan b, dan suku ke-n kita misalkan
Un maka barisan aritmatika ditulis sebagai berikut:
Rumus suku ke-n
suatu barisan aritmatika adalah
Un = a + (n – 1)b
Sifat-sifat suku ke-n
Un = a + (n – 1) b = a + bn – b = bn + (a – b).
Jadi, suku ke-n
suatu barisan aritmatika adalah fungsi linier dari n, dengan n bilangan asli.
3. Menentukan
Jumlah n Suku dari Deret Aritmatika
Pada bahasan sebelumnya kamu sudah
mempelajari barisan aritmatika. Jika suku-suku barisan aritmatika kita jumlahkan, maka
deret tersebut disebut deret aritmatika.
Jika U1, U2,
U3, … Un adalah suku-suku barisan aritmatika, maka U1 + U2 + U3 + U4 + U5 + …
disebut deret aritmatika.
Jika jumlah n
suku pertama deret aritmatika itu kita lambangkan dengan Sn, maka Sn = U1 + U2
+ U3 + U4 + U5 + … Un.
Seorang
matematikawan Karl Friedrech Gauss (1777 – 1855) ketika di sekolah dasar,
gurunya meminta dia untuk menjumlahkan seratus bilangan asliyang pertama. Gauss
memberikan jawaban dalam beberapa detik, dia menjawab sebagai berikut:
S100 = 1 + 2 + 3 + … +
99 + 100
S100 = 100 + 99 + … + 2
+ 1
+
2S100 = 1001 + 101 + 101 + … + 101 +
101
2S100 = 100 + 101
Jadi, jumlah seratus bilangana asli yang pertama adalah 5050.
Kita dapat
mencari rumus untuk jumlah n suku pertama (Sn), dari deret aritmatika, yaitu:
Atau
Sn = a + (a + b) + (a + 2b) + … + (Un – 2b) + (Un
– b) + Un.
Kemudian urutan suku-suku dijumlahkan dan dibalik sehingga:
Sn = a + (a + b) + (a + 2b) + … + (Un – 2b) + (Un
– b) + Un.
Sn = Un + (Un – b) + (Un – 2b)
+ … + (a + 2b) + (a + b) + (a + 2b) + a
+
2Sn = (a + Un) + (a + Un) + (a + Un) + … +
(a + Un) + (a + Un) + (a + Un)
Gambar 1.3 hal 174
Penjumlahan n suku, tiap sukunya (a + Un)
2Sn = n (a + Un)
Sn =
Jumlah n suku
pertama deret aritmatika adalah
Sn
= atau Sn =
Catatan :
Un =
a + (n – 1)b
Sifat-sifat
Sn = = =
Jadi, Sn
merupakan fungsi kuadrat dari n dengan n bilangan asli.
Contoh 1.1
Tentukan jumlah
25 suku pertama deret 3 + 6 + 9 +….
Penyelesaian:
Deret 3 + 6 + 9
+…. adalah deret aritmatika dengan a = 3 dan b = 3. Oleh
karena itu
dengan menggunakan rumus Sn =
diperoleh
S25 = [2(3) + (25 -1)(3)]
= [6 + 24(3)]
= (6 + 72)
= 25 (39)
= 975.
Jadi jumlah 25
suku pertama dari deret 3 + 6 + 9 +…. adalah 975.
Contoh 1.2
Tentukan jumlah semua bilangan ganjil antara 50 dan 100.
Penyelesaian:
Diketahui a = 51, b = 2, dan Un = 99.
Untuk mencari jumlah semua bilangan ganjil di antara 50 dan 100,
pertama-tama
kita cari dulu banyaknya bilangan ganjil di antara 50 dan 100, yaitu n
dengan menggunakan rumus:
Un = a + (n – 1) b
99 = 51 + (n – 1)(2)
99 = 51 + 2n – 2
99 = 49 + 2n
2n = 99 – 49
n = 25.
Selanjutnya dengan rumus jumlah n suku pertama suatu barisan aritmatika,
Sn =
diperoleh:
S25 = [2(51) + (25 -1)(2)]
= 25(51 + 24)
= 25(75)
= 1.875.
Jadi jumlah
semua bilangan ganjil antara 50 dan 100 adalah 1.875.
Contoh 1.3
Ditentukan
deret aritmatika 1 + 4 + 7 + 10 + …
Carilah :
a.
rumus suku ke-n,
b. rumus
jumlah n suku pertama, dan
c.
jumlah 20 suku pertama.
Penyelesaian:
a.
Diketahui a = 1, dan b = 3
Un = a + (n – 1)b
= 1 + (n –
1)3
= 3n – 1
b. Jumlah
n suku pertama
Sn =
=
=
c.
Jumlah 20 suku pertama
= 600 – 10 = 590
Jadi, jumlah 20 suku pertama adalah 590.
Contoh 1.4
Hitunglah jumlah deret aritmatika 3+
8 + 13 + … + 98
Penyelesaian:
Diketahui n =
3, b = 5 dan Un = 98
Un
= a + (n – 1)b
98 = 3 + (n
– 1)5
98 =
5n – 2
5n – 2 = 98
5n = 100
n = 20
S20 =
Sn =
= 1010
Jadi, Sn adalah 1010
- Barisan dan Deret geometri
1. Pengertian barisan geomatri
Perhatikan contoh barisan geometri
berikut
a.
2, 4, 8, 16, … rasionalnya
b. 2,
-6, 18, -54, … rasionalnya
c.
320, 80, 20, 5, … rasionalnya
Barisan
tersebut merupakan barisan geometri. Pada setiap barisan bilangan di atas,
pembanding dua suku yang berurutan selalu tetap (konstan).
Suatu barisan U1,
U2, U3, … Un, disebut barisan geometri jika untuk setiap nilai n bilangan asli
berlaku:
dengan r
suatu tetapan yang tidak bergantung pada n.
Jadi, barisan
geometri adalah barisan bilangan yang tiap sukunya diperoleh dari suku
sebelumnya dengan mengalikan atau membagi dengan suatu bilangan tetap. Bilangan
tetap itu disebut pembanding atau rasio yang dilambangkan dengan huruf r.
Jika
> 1, artinya r < -1 atau r > 1, maka suku-suku barisan geometri
itu semakin besar. Barisan tersebut dinamakan barisan geometri naik (contoh a
dan b). Jika <
1, artinya -1 < r < 1, maka suku-suku barisan geometri itu semakin kecil.
Barisan tersebut dinamakan barisan
geometri turun (contoh c dan d).
2. Menentukan
Rumus Suku ke-n Barisan Geometri
Jika suku pertama U1,
dinyatakan dengan a dan perbandingan dua suku berurutan adalah rasio yang
dinyatakan dengan r dan suku ke-n dinyatakan dengan Un, maka kita
dapat merumuskanya dengan:
Dari keterangan di atas, dapat kita
simpulkan rumus ke-n dari barisan geometri adalah Un = arn-1
Sifat-sifat suku-suku ke-n barisan
geometri Un = arn-1 adalah fungsi eksponen dari n.
3. Deret
Geometri
Jika a, ar,
ar2, ar3, … arn-1 adalah barisan geometri,
maka
a + ar + ar2
+ ar3 + … arn-1 disebut deret geometri.
Deret geometri adalah penjumlahan suku-suku dari barisan geometri.
Kalau jumlah
n suku pertama deret geometri kita lambangkan dengan Sn, maka dapat
ditulis:
Sn = a + ar + ar2 + ar3 + … arn-1
Kita kalikan persamaan di atas dengan r, diperoleh
r Sn = ar + ar2 + ar3 + ar4
+ … arn-1 + arn
kita kurangkan
Sn = a + ar + ar2 + ar3 + … arn-1
r Sn = ar + ar2 + ar3 + ar4
+ … arn-1 + arn
-
Sn – r Sn = a – arn
(1 – r)Sn = a(1 – rn)
Dengan
demikian, jumlah n suku pertama deret geometri dapat ditentukan dengan rumus:
rumus untuk barisan turun atau < 1,
dan
rumus untuk barisan naik atau > 1.
Contoh 1.5
Apakah barisan-barisan berikut merupakan barisan geometri. Jika merupakan
barisan geometri, tentukan rasionya.
a. 2, 4, 8, 16, ….
b. 3, 5, 7, 9,…….
Penyelesaian:
a. 2, 4, 8, 16, …. adalah barisan geometri dengan rasio 2, sebab
b. 3, 5, 7, 9,…. bukan deret
geometri, sebab
.
Contoh 1.6
Carilah jumlah tujuh suku pertama
pada deret geometri 4 + 12 + 36 + 108 + …
Penyelesaian:
4 + 12 + 36 + 108 + …
, S7 =
4372
Jadi, jumlah 7 suku pertama deret geometri adalah 4372.
Contoh 1.7
Carilah jumlah dari deret geometri 2 + 6 + 18 + … + 4374
Penyelesaian:
Barisan geometri 2 + 6 + 18 + … + 4374
a = 2 dan r = 3
Un = arn-1
2 . 3n-1 = 4374
3n-1 =
3n-1 = 2187
3n-1 = 37
n – 1 = 7
n = 8
S8
=
= 6560
Jadi, jumlah 8 suku pertama deret geometri adalah 6560.
- Deret Geometri Tak Hingga
Pada deret geometri, untuk n ~ maka
deret tersebut dikatakan deret geometri tak berhingga. Jadi,
Deret Geometri tak
berhingga adalah penjumlahan dari
U1 + U2
+ U3 + … Un , atau jika ditulis dengan notasi
adalah
= a + ar + ar² ………………
n=1
dimana n à ~ dan -1 < r < 1 sehingga rn
à 0
Deret tersebut akan konvergen
(mempunyai jumlah) jika -1
< r < 1, dan mempunyai jumlah :
dengan -1 < r < 1
Bila r tidak terletak pada -1 < r
< 1, maka deret tersebut akan divergen (tidak mempunyai jumlah)
- Penerapan Konsep Deret Aritmatika dan Deret Geometri
untuk Memecahkan Masalah
Untuk menyelesaikan soal-soal cerita
terlebih dahulu kita susun ke dalam bentuk barisan bilangan, lalu kita lihat
apakah barisan itu termasuk barisan aritmatika atau geometri. Kemudian
selesaikan dengan menggunakan rumus yang sesuai.
Untuk itu diingatkan lagi
sifat-sifat deret aritmatika maupun geometri.
Deret aritmatika
Un = a + (n – 1)b
Sn =
Deret Geometri
Un = arn-1
untuk < 1 dan
untuk > 1.
Contoh 1.9
Dalam suatu gedung pertunjukan
terdapat 30 kursi pada baris pertama dan setiap baris berikutnya memuat empat
kursi lebih banyak dari baris di depanya. Bila dalam gedung itu terdapat
sepuluh baris kursi. Tentikanlah:
-
- banyaknya
kursi pada baris ke-10.
- banyaknya kursi dalam gedung itu.
Penyelesain:
a. barisanya adalah 30, 34, 38, 42, …
adalah barisan aritmatika
U10 = a + (n – 1)b
= 30 + (10 – 1)4 = 30 +
36 + = 66
Jadi, banyaknya kursi pada baris ke-10 adalah 66 kursi.
b. Kita gunakan rumus deret aritmatika
S10 =
=
Jadi, banyaknya kursi pada gedung itu ada 480 kursi.
Contoh1.10
Mulai tahun 2000, Pak Arman mempunyai kebun tebu. Penghasilan kebun
tebu Pak Arman
pada akhir tahun 2000 adalah Rp 6.000.000,-. Mulai tahun
2001, Pak Arman memupuk kebun tebunya dengan pupuk kandang. Pak
Arman memperkirakan bahwa setiap akhir tahun, penghasilan kebun tebunya
naik Rp 500.000,-. Berapa perkiraan penghasilan kebun tebu Pak Arman pada
akhir tahun 2005?
Penyelesaian:
Misalkan:
a = penghasilan kebun tebu Pak Arman pada akhir tahun 2000.
b = perkiraan kenaikan penghasilan kebun tebu Pak Arman setiap akhir
tahun.
P2005 = perkiraan penghasilan kebun Pak Arman pada akhir tahu 2005.
Jadi a = Rp 6.000.000,-, b = Rp 500.000,-, dan P2005 akan dicari.
Karena perkiraan kenaikan penghasilan kebun tebu Pak Arman setiap
akhir tahun adalah tetap, maka untuk menentukan penghasilan kebun Pak
Arman pada akhir tahun 2005, kita dapat menerapkan rumus unsur ke n dari
barisan aritmatika dengan
U1 = a = a = Rp 6.000.000,-, b = Rp 500.000.
P2005 = U6 = a + 5b
= 6.000.000 + 5(500.000)
= 6.000.000 +
2.500.000
= 8.500.000.
Jadi perkiraan penghasilan kebun tebu Pak Arman pada akhir tahun 2005
adalah Rp 8.500.000,-
RANGKUMAN
- Barisan
U1, U2, U3, …, Un, …. disebut barisan aritmatika jika Un – Un-1 = konstan.
- Un disebut
unsur ke n barisan itu, dan konstanta tersebut disebut beda, yang
dinotasikan dengan b.
- Jika U1, U2, U3, …, Un, …. merupakan barisan aritmatka
dengan beda b
dan unsur pertama U1 = a, maka rumus unsur ke n dari barisan itu adalah
Un = a + (n – 1)b
- Jika U1, U2, U3, …, Un, …. merupakan barisan aritmatka,
maka
U1 + U2 + U3 + … + Un, ….
disebut deret aritmatika. Un
disebut suku ke n dari deret itu.
- Jumlah n suku deret aritmatika dengan beda b dan unsur
pertama U1 = a
adalah
Sn = n[2a + (n -1)b].
Ø
Barisan U1, U2,
U3,…, Un,… disebut barisan geometri jika konstan,
dengan n = 2, 2, 3,….
Ø
Konstanta pada barisan geometri di
atas disebut rasio dari barisan itu dan sering dinotasikan dengan r.
Ø
Rumus unsur ke
n barisan geometri U1, U2, U3, U4,…, Un,…. dengan U1 = a dan rasio r adalah Un
= arn-1
Ø
Jika U1, U2,
U3, …, Un,…. merupakan barisan geometri dengan unsure pertama adalah a = U1 dan
rasio r, maka U1 + U2 + U3 + … + Un
disebut deret geometri dengan Un = arn-1
Ø
Rumus jumlah n suku pertama deret
geometri dengan suku pertama a dan rasio r adalah untuk < 1 dan
untuk > 1.
Ø
Jumlah tak hingga suatu deret
geometri dengan suku pertama a dan rasio r adalah dengan -1 <
r < 1
Bila r tidak terletak pada -1 < r
< 1, maka deret tersebut akan divergen (tidak mempunyai jumlah)
